Kreisform-Rechner

Wie funktioniert Circle Calculator?

Circle Calculator ist ein einfacher Rechner zur Berechnung von Umfang, Durchmesser, Fläche und anderen Eigenschaften eines Kreises. Mit dem Kreisrechner können Sie einfach bekannte Informationen über einen Kreis (Radius, Durchmesser, Umfang oder Fläche) eingeben und dann auf die Schaltfläche Berechnen klicken, um weitere Informationen über den Kreis abzuleiten.

Was ist ein Kreis?

Ein Kreis ist eine geometrische Figur, deren Definition auf zwei Elementen beruht: dem Mittelpunkt und dem Radius:

1. Mittelpunkt: Der Mittelpunkt des Kreises ist der zentrale Punkt des Kreises, und alle Punkte des Kreises sind von diesem Punkt gleich weit entfernt.

2. Radius: Der Radius ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Kreises und einem beliebigen Punkt auf dem Kreis. Alle Radien eines Kreises sind gleich lang.

Auf der Grundlage dieser Elemente kann ein Kreis definiert werden als:

• Geometrische Definition: Die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt des Kreises) gleich weit entfernt sind; dieser Abstand wird als Radius bezeichnet.

• Algebraische Definition: Im kartesischen Koordinatensystem kann ein Kreis durch die folgende Gleichung definiert werden:
  { \color{Orange} (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 }
  wobei { \color{Orange} (h, k) } die Koordinaten des Kreismittelpunkts, { \color{Orange} r } der Radius und { \color{Orange} (x, y) } die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis sind.

• Topologische Definition: In der Topologie kann man sich einen Kreis als eine geschlossene Kurve vorstellen, die durch aufeinanderfolgende Drehungen eines Liniensegments um 360 Grad gebildet wird.

• Parametrische Gleichung: Die parametrische Gleichung eines Kreises lautet:
  { \color{Orange} x = h + r \cos(\theta) }
{ \color{Orange} y = k + r \sin(\theta) }
  Dabei ist { \color{Orange} \theta } ein Parameter, der den Winkel (nortimeserweise im Bogenmaß) zwischen dem Mittelpunkt des Kreises und einem Punkt auf dem Kreis angibt.

• Polarkoordinatendefinition : In einem Polarkoordinatensystem kann ein Kreis durch die folgende Gleichung definiert werden:
  { \color{Orange} r = \text{constant} }.
  Dabei ist { \color{Orange} r } der Abstand vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis, d. h. der Radius.

Diese Definitionen beschreiben den Kreis aus verschiedenen Blickwinkeln, aber sie basieren alle auf der zentralen Symmetrie des Kreises und der Eigenschaft, dass alle Punkte gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind.

Berechnung eines Kreises

Radius eines bekannten Kreises

Kennt man den Radius { \color{Orange} r } eines Kreises, lassen sich Durchmesser { \color{Orange} d }, Umfang { \color{Orange} C } und Fläche { \color{Orange} A } eines Kreises wie folgt berechnen:

1. der Durchmesser { \color{Orange} d }:
   { \color{Orange} d = 2r }

2. Umfang { \color{Orange} C }:
   { \color{Orange} C = 2\pi r }

3. Fläche { \color{Orange} A }:
   { \color{Orange} A = \pi r^2 }

wobei { \color{Orange} \pi } der Umfang eines Kreises ist und ungefähr gleich 3.14159 ist.

Wenn der Radius eines Kreises zum Beispiel 5 Einheiten beträgt, dann:

• Der Durchmesser { \color{Orange} d } ist dann { \color{Orange} 2 \times 5 = 10 } Einheiten.
• Der Umfang { \color{Orange} C } beträgt { \color{Orange} 2 \times \pi \times 5 \approx 2 \times 3.14159 \times 5 \approx 31.4159 }.
• Die Fläche { \color{Orange} A } beträgt { \color{Orange} \pi \times 5^2 \times 3.14159 \times 25 \times 78.5398 } Quadrateinheiten.

Kenntnis des Durchmessers eines Kreises

Wenn der Durchmesser eines Kreises { \color{Orange} d } bekannt ist, können der Radius { \color{Orange} r }, der Umfang { \color{Orange} C } und die Fläche { \color{Orange} A } des Kreises wie folgt berechnet werden:

1. Radius { \color{Orange} r }:
   { \color{Orange} r = \frac{d}{2} }

2. Umfang { \color{Orange} C }:
   { \color{Orange} C = \pi d }.

3. Fläche { \color{Orange} A }:
   { \color{Orange} A = \frac{ \pi d^2 }{4} }

Dabei ist { \color{Orange} \pi } der Umfang des Kreises, der ungefähr gleich 3.14159 ist.

Wenn der Durchmesser eines Kreises zum Beispiel 10 Einheiten beträgt, dann:

• Radius { \color{Orange} r } ist { \color{Orange} \frac{10}{2} = 5 } Einheiten.
• Der Umfang { \color{Orange} C } beträgt { \color{Orange} \pi \times 10 \approx 31.4159 }.
• Die Fläche { \color{Orange} A } beträgt { \color{Orange} \frac{\pi \times 10^2}{4} \approx \frac{3.14159 \times 100}{4} \approx 78.5398 } Quadrateinheiten.

Der Umfang eines bekannten Kreises

Wenn wir den Umfang eines Kreises { \color{Orange} C } kennen, können wir die folgenden Formeln verwenden, um den Radius { \color{Orange} r }, den Durchmesser { \color{Orange} d } und die Fläche { \color{Orange} A } des Kreises zu berechnen:

1. Radius { \color{Orange} r }:
   Dieser ergibt sich aus der Umfangsformel { \color{Orange} C = 2\pi r }:
   { \color{Orange} r = \frac{C}{2\pi} }.

2. der Durchmesser { \color{Orange} d }:
   Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius, also:
   { \color{Orange} d = 2r }
{ \color{Orange} d = 2 \times \frac{C}{2\pi} }
{ \color{Orange} d = \frac{C}{\pi} }

3. fläche { \color{Orange} A }:
   Die Flächenformel lautet:
   { \color{Orange} A = \pi r^2 }
   Setzen Sie den Ausdruck für den Radius { \color{Orange} r } ein:
   { \color{Orange} A = \pi \left(\frac{C}{2\pi}\right)^2 }
{ \color{Orange} A = \frac{C^2}{4\pi} }

Wenn zum Beispiel der Umfang eines Kreises { \color{Orange} 31.4159 } Einheiten beträgt (ungefähr gleich { \color{Orange} 2\pi \times 5 }), dann:

• Der Radius { \color{Orange} r } beträgt { \color{Orange} \frac{31.4159}{2\pi} \approx 5 } Einheiten.
• Der Durchmesser { \color{Orange} d } beträgt { \color{Orange} \frac{31.4159}{\pi} \approx 10 } Einheiten.
• Die Fläche { \color{Orange} A } beträgt { \color{Orange} \frac{31.4159^2}{4\pi} \approx 78.5398 } Quadrateinheiten.

Bekannte Fläche eines Kreises

Wenn wir den Flächeninhalt eines Kreises { \color{Orange} A } kennen, können wir die folgenden Formeln verwenden, um den Radius { \color{Orange} r }, den Durchmesser { \color{Orange} d } und den Umfang { \color{Orange} C } des Kreises zu berechnen:

1. Radius { \color{Orange} r }:
   Dieser ergibt sich aus der Flächenformel { \color{Orange} A = \pi r^2 }:
   { \color{Orange} r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} }.

2. Durchmesser { \color{Orange} d }:
   Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius, also:
   { \color{Orange} d = 2r }
{ \color{Orange} d = 2 \times \sqrt{\frac{A}{\pi}} }]

3. perimeter { \color{Orange} C }:
   Die Umfangsformel lautet:
   { \color{Orange} C = 2\pi r }.
   Setzen Sie den Ausdruck für den Radius { \color{Orange} r } ein:
   { \color{Orange} C = 2\pi \times \sqrt{\frac{A}{\pi}} }
{ \color{Orange} C = 2\sqrt{\pi A} }

Wenn zum Beispiel die Fläche eines Kreises { \color{Orange} 78.5398 } Quadrateinheiten beträgt (ungefähr gleich { \color{Orange} \pi \times 5^2 }), dann:

• Der Radius { \color{Orange} r } beträgt { \color{Orange} \sqrt{\frac{78.5398}{\pi}} \approx 5 } Einheiten.
• Der Durchmesser { \color{Orange} 2 \times \sqrt{\frac{78.5398}{\pi}} \approx 10 } Einheiten betragen.
• Der Umfang { \color{Orange} C } beträgt { \color{Orange} 2\sqrt{\pi \times 78.5398} \approx 31.4159 } .

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