Pentagon-Rechner

Wie man eine Regularpentagon-Rechner verwendet?

Bestätigen Sie ein Attribut des regelmäßigen Pentagons (Fläche, Umfang, Seitenlänge), geben Sie es in den Rechner ein und klicken Sie dann auf die Berechnungsschaltfläche, um die anderen Eigenschaften des regelmäßigen Pentagons zu erhalten.

Was ist ein regelmäßiges Pentagon?

Ein regelmäßiges Pentagon ist ein Vieleck mit fünf gleich langen Seiten und fünf gleich großen Winkeln. Hier sind einige grundlegende Erkenntnisse über regelmäßige Pentagons:

1. Symmetrie: Ein regelmäßiges Pentagon hat eine hohe Symmetrie und kann sich um seinen Mittelpunkt in vielfachen von 72 Grad (360 Grad/5) drehen, während es seine Form beibehält.
2. Innen- und Außenwinkel: Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Pentagons beträgt 108 Grad (\color{Orange}180(5-2)/5), jeder Außenwinkel beträgt 72 Grad (360 Grad/5).
3. Seitenlänge und Fläche: Die Seitenlängen eines regelmäßigen Pentagons sind gleich, und die Fläche kann über die Seitenlänge berechnet werden. Die Flächenformel ist \color{Orange} \frac{5a^2}{4\tan(\pi/5)}, wobei \color{Orange} a die Seitenlänge ist.
4. Inkreis und Umkreis: Ein regelmäßiges Pentagon hat einen Inkreis (einen Kreis, der alle Seiten berührt) und einen Umkreis (einen Kreis, der alle Scheitelpunkte berührt). Der Radius des Inkreises \color{Orange} r ist mit der Seitenlänge \color{Orange} a verbunden und kann durch geometrische Beziehungen berechnet werden.
5. Goldener Schnitt: Das regelmäßige Pentagon ist mit dem goldenen Schnitt verbunden. Der goldene Schnitt ist eine irrationale Zahl, die etwa 1.61803398875… beträgt und als \color{Orange} \phi bezeichnet wird. In einem regelmäßigen Pentagon, wenn wir die Seitenlänge als \color{Orange} a setzen, ist das Verhältnis der Seitenlänge zum Radius des Inkreises sowie das Verhältnis des Radius des Inkreises zum Radius des Umkreises der goldene Schnitt.
6. Konstruktionsmethoden: Ein regelmäßiges Pentagon kann auf verschiedene Weisen konstruiert werden, zum Beispiel mit Lineal und Zirkel oder durch Diagonalen eines Sterns.
7. Geometrische Eigenschaften: Ein regelmäßiges Pentagon kann in 5 gleichschenklige Dreiecke unterteilt werden, von denen die Basis eine Seite des Pentagons ist und die Höhe durch den Radius des Inkreises bestimmt werden kann.
8. Anwendungen: Das regelmäßige Pentagon findet in Kunst, Architektur, Design und in der Natur breite Anwendung, zum Beispiel in der Anordnung der Blütenblätter bestimmter Blumen.
9. Mathematische Beziehungen: Die geometrischen Eigenschaften und mathematischen Beziehungen des regelmäßigen Pentagons werden in vielen Bereichen der Mathematik angewandt, einschließlich Algebra, Geometrie und Zahlentheorie.
10. Sequenz der regelmäßigen Vielecke: Das regelmäßige Pentagon ist einer von Mitgliedern der Sequenz der regelmäßigen Vielecke, die Vielecke mit einer positiven ganzen Zahl der Seiten sind, alle Seitenlängen sind gleich und alle Winkel sind gleich. Das regelmäßige Pentagon ist das dritte Mitglied nach dem Quadrat (Viereck) und dem gleichseitigen Dreieck.

Berechnungen mit regelmäßigen Pentagons

Gegeben ist die Fläche eines regelmäßigen Pentagons, berechnen Sie seinen Umfang und Seitenlänge

Um den Umfang und die Seitenlänge eines regelmäßigen Pentagons zu berechnen, nehmen wir an, dass seine Fläche 10 beträgt. Hier sind die detaillierten Berechnungsschritte:

1. Gegeben ist die Flächengleichung für ein regelmäßiges Pentagon:
   Die Fläche \color{Orange} A eines regelmäßigen Pentagons kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} s^2 \cot\left(\frac{\pi}{5}\right)
   Wobei \color{Orange} s die Seitenlänge des regelmäßigen Pentagons ist.
2. Berechnung von \color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right):
   Wir wissen, dass:
   \color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right)}
\color{Orange}\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) = \tan(36^\circ), durch Nachschlagen in einer Tabelle oder Verwenden eines Taschenrechners erhalten wir:
   \color{Orange} \tan(36^\circ) \approx 0.7265
   Daher,
   \color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx \frac{1}{0.7265} \approx 1.3764
3. Verwenden Sie die Flächengleichung, um die Seitenlänge \color{Orange} s zu finden:
   Einsetzen des bekannten Bereichs \color{Orange} A = 10:
   \color{Orange} 10 = \frac{5}{4} s^2 \cdot 1.3764
   Lösen Sie diese Gleichung:
   \color{Orange} 10 = 1.7205 \cdot s^2
\color{Orange} s^2 = \frac{10}{1.7205} \approx 5.8125
\color{Orange} s \approx \sqrt{5.8125} \approx 2.41
4. Berechnung des Umfangs des regelmäßigen Pentagons:
   Der Umfang \color{Orange} P eines regelmäßigen Pentagons ist fünf Mal die Seitenlänge \color{Orange} s:
   \color{Orange} P = 5s = 5 \times 2.41 \approx 12.05

Zusammenfassend beträgt die Seitenlänge des regelmäßigen Pentagons etwa 2.41, und der Umfang beträgt etwa 12.05.

Gegeben ist der Umfang eines regelmäßigen Pentagons, berechnen Sie dessen Fläche und Seitenlänge

Um die Fläche und Seitenlänge eines regelmäßigen Pentagons zu berechnen, nehmen wir an, dass sein Umfang 10 beträgt. Hier sind die detaillierten Berechnungsschritte:

1. Berechnung der Seitenlänge des regelmäßigen Pentagons:
   Das regelmäßige Pentagon hat fünf Seiten, setzt die Länge jeder Seite als \color{Orange} s.
   \color{Orange} 5s = 10
   Lösen wir für \color{Orange} s:
   \color{Orange} s = \frac{10}{5} = 2
   Daher beträgt die Seitenlänge \color{Orange} s des regelmäßigen Pentagons 2.
2. Berechnung der Fläche des regelmäßigen Pentagons:
   Die Fläche eines regelmäßigen Pentagons kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} s^2 \cot\left(\frac{\pi}{5}\right)
   Zuallererst berechnen wir \color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right):
   \color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right)}
   Wir wissen:
   \color{Orange} \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) = \tan(36^\circ)
   Durch Nachschlagen in einer Tabelle oder Verwenden eines Taschenrechners erhalten wir:
   \color{Orange} \tan(36^\circ) \approx 0.7265
   Daher,
   \color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx \frac{1}{0.7265} \approx 1.3764
3. Berechnung der Fläche:
   Einsetzen der Seitenlänge \color{Orange} s = 2 und \color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx 1.3764:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} \times 2^2 \times 1.3764
   Berechnenwir:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} \times 4 \times 1.3764 = 5 \times 1.3764 = 6.882

Also, die Fläche des regelmäßigen Pentagons beträgt etwa 6.882, und die Seitenlänge beträgt 2.

Gegeben ist die Seitenlänge eines regelmäßigen Pentagons, berechnen Sie dessen Fläche und Umfang

Um die Fläche und den Umfang eines regelmäßigen Pentagons zu berechnen, nehmen wir an, dass seine Seitenlänge 10 beträgt. Hier sind die detaillierten Berechnungsschritte:

1. Berechnung des Umfangs des regelmäßigen Pentagons:
   Das regelmäßige Pentagon hat fünf Seiten, jeweils mit einer Länge von \color{Orange} s = 10.
   \color{Orange} P = 5s = 5 \times 10 = 50
   Daher beträgt der Umfang \color{Orange} P des regelmäßigen Pentagons 50.
2. Berechnung der Fläche des regelmäßigen Pentagons:
   Die Fläche \color{Orange} A eines regelmäßigen Pentagons kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} s^2 \cot\left(\frac{\pi}{5}\right)
   Zuallererst berechnen wir \color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right):
   \color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right)}
   Wir wissen:
   \color{Orange} \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) = \tan(36^\circ)
   Durch Nachschlagen in einer Tabelle oder Verwenden eines Taschenrechners erhalten wir:
   \color{Orange} \tan(36^\circ) \approx 0.7265
   Daher,
   \color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx \frac{1}{0.7265} \approx 1.3764
3. Berechnung der Fläche:
   Einsetzen der Seitenlänge \color{Orange} s = 10 und \color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx 1.3764:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} \times 10^2 \times 1.3764
   Berechnen wir:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} \times 100 \times 1.3764 = 125 \times 1.3764 = 172.05

Zusammenfassend beträgt die Fläche des regelmäßigen Pentagons etwa 172.05, und der Umfang beträgt 50.

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