Rechner für gleichseitige Dreiecke

Wie benutzt man den Rechner für gleichseitige Dreiecke?

1 Geben Sie die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks ein: Fläche ({ \color{Orange} S }), Umfang ({ \color{Orange} p }), Seitenlänge ({ \color{Orange} h }) oder Höhe ({ \color{Orange} a }).

2. klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, um das Ergebnis zu erhalten.

Was ist ein gleichseitiges Dreieck?

Ein gleichseitiges Dreieck ist eine besondere Art von Dreieck, dessen Definition auf der Gleichheit von Seiten und Winkeln beruht. Konkret bedeutet dies:

1. Seitengleichheit: Alle drei Seiten eines gleichseitigen Dreiecks haben die gleiche Länge. Das heißt, wenn man zwei beliebige Seiten misst, haben sie alle die gleiche Länge.

2. Winkelgleichheit: Da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180 Grad beträgt, ist jeder Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks 60 Grad lang. Das liegt daran, dass die Summe von drei gleichen Winkeln 180 Grad ergeben muss, also ist jeder Winkel { \color{Orange} \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ }.

3. Symmetrie: Das gleichseitige Dreieck hat eine Vielzahl von Symmetrien. Es ist nicht nur eine achsensymmetrische Figur, d.h. symmetrisch um eine Linie, die durch jeden Scheitelpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verläuft, sondern auch rotationssymmetrisch, d.h. es stimmt mit der ursprünglichen Figur überein, nachdem es um 120 oder 240 Grad um den Mittelpunkt gedreht wurde.

4. Höhe, Median und Winkelhalbierende: In einem gleichseitigen Dreieck fallen die senkrechte Linie von jedem Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite (die Höhe), die Verbindungslinie zwischen dem Scheitelpunkt und dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite (der Median) und die Winkelhalbierende jedes Innenwinkels zusammen.

5. Schwerpunkt, Innen- und Außenseite fallen zusammen: Der Schwerpunkt (der Schnittpunkt der drei Mediane eines Dreiecks), die Innenseite (der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Dreiecks) und die Außenseite (der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Außenwinkel eines Dreiecks) eines gleichseitigen Dreiecks liegen alle im selben Punkt, nämlich dem Mittelpunkt des Dreiecks.

6. Verhältnis von Fläche zu Umfang: Das Verhältnis von Fläche zu Umfang eines gleichseitigen Dreiecks ist eine feste Konstante, unabhängig von der Länge der Seiten; dieses Verhältnis beträgt ungefähr 0,1702.

Diese Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks verleihen ihm einen besonderen Platz in der Geometrie, und es ist in Kunst, Architektur und Natur weit verbreitet.

Berechnung des Flächeninhalts eines gleichseitigen Dreiecks

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines gleichseitigen Dreiecks lautet:

{ \color{Orange} S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 }

Wobei :.

• { \color{Orange} S } die Fläche des Dreiecks ist
• { \color{Orange} a } die Länge der Seite des gleichseitigen Dreiecks ist.

Schritte zur Berechnung des Flächeninhalts eines gleichseitigen Dreiecks:

1. Bestimmen Sie die Seitenlängen: Zunächst müssen Sie die Seitenlängen des gleichseitigen Dreiecks { \color{Orange} a } kennen.

2. Berechnen Sie das Quadrat der Seitenlänge: Multiplizieren Sie die Seitenlänge { \color{Orange} a } mit sich selbst, d.h. { \color{Orange} a^2 }.

3. Anwenden der Formel: Multiplizieren Sie das Quadrat der Seitenlänge { \color{Orange} \frac{\sqrt{3}}{4} }. Dieser Schritt beinhaltet die Berechnung des Wertes von { \color{Orange} \sqrt{3} } (d.h. die Quadratwurzel aus 3), der ungefähr 1,732 entspricht.

4. Berechnung des Flächeninhalts: Nach Abschluss der obigen Berechnungen ist der erhaltene Wert der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks.

Wenn zum Beispiel die Seitenlängen eines gleichseitigen Dreiecks { \color{Orange} a = 6 } Einheiten sind, dann wird sein Flächeninhalt wie folgt berechnet:

1. berechne das Quadrat der Seitenlänge: { \color{Orange} 6^2 = 36 }.

2. die Flächenformel anwenden: { \color{Orange} S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 }.

3. berechnen Sie den Wert von { \color{Orange} \sqrt{3} }: { \color{Orange} \sqrt{3} \approx 1.732 }.

4) Berechnen Sie den Flächeninhalt: { \color{Orange} S \approx \frac{1.732}{4} \times 36 \approx 0.433 \times 36 = 15.588 }.

Der Flächeninhalt dieses gleichseitigen Dreiecks beträgt also ungefähr { \color{Orange} 15,588 } Quadrateinheiten.

Berechnen des Umfangs eines gleichseitigen Dreiecks

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines gleichseitigen Dreiecks lautet:

{ \color{Orange} P = 3a }

• wobei { \color{Orange} P } der Umfang des Dreiecks und { \color{Orange} a } die Länge der Seiten des gleichseitigen Dreiecks ist.

Schritte zur Berechnung des Umfangs eines gleichseitigen Dreiecks:

1. Bestimmen Sie die Seitenlängen: Zunächst müssen Sie die Seitenlängen des gleichseitigen Dreiecks { \color{Orange} a } kennen.

2. Berechnen Sie die Seitenlänge: Multiplizieren Sie die Seitenlänge { \color{Orange} a } mit 3.

3. Berechnen Sie den Umfang: Nach Abschluss der obigen Berechnungen ist der resultierende Wert der Umfang des gleichseitigen Dreiecks.

Wenn zum Beispiel die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks { \color{Orange} a = 6 } Einheiten beträgt, dann wird sein Umfang wie folgt berechnet:

1. berechne die Seitenlänge: { \color{Orange} 3 \times 6 = 18 }.

2) Leiten Sie den Umfang ab: { \color{Orange} P = 18 }.

Der Umfang dieses gleichseitigen Dreiecks beträgt also { \color{Orange} 18 } Einheiten.

Berechnung der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

Die Formel zur Berechnung der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks lautet:

{ \color{Orange} h = \frac{a \sqrt{3}}{2} }

• wobei { \color{Orange} h } die Höhe des gleichseitigen Dreiecks und { \color{Orange} a } die Länge der Seite des gleichseitigen Dreiecks ist.

Schritte zur Berechnung der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks:

1. Bestimmen Sie die Seitenlängen: Zunächst müssen Sie die Seitenlängen { \color{Orange} a } des gleichseitigen Dreiecks kennen.

2. Berechnen Sie das Quadrat der Seitenlänge: Multiplizieren Sie die Seitenlänge { \color{Orange} a } mit sich selbst, d.h. { \color{Orange} a^2 }.

3. Anwenden der Formel: Teilen Sie das Quadrat der Seitenlänge durch 2.

4. Ermitteln Sie die Höhe: Nach Abschluss der obigen Berechnungen ist der erhaltene Wert der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks.

Wenn zum Beispiel die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks { \color{Orange} a = 6 } Einheiten beträgt, dann wird seine Höhe wie folgt berechnet:

1. berechne das Quadrat der Seitenlänge: { \color{Orange} 6^2 = 36 }.

2. wende die Flächenformel an: { \color{Orange} h = \frac{36}{2} }.

3. berechnen Sie den Wert von { \color{Orange} \sqrt{3} }: { \color{Orange} \sqrt{3} \approx 1.732 }.

4. Berechnen Sie die Höhe: { \color{Orange} h \approx \frac{1.732}{2} \times 6 = 0.866 \times 6 = 5.196 }.

Der Flächeninhalt dieses gleichseitigen Dreiecks beträgt also etwa { \color{Orange} 5.196 } Einheiten.

Mehr über gleichseitige Dreiecke:

• Wikipedia über gleichseitige Dreiecke

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