¿Cómo funciona la calculadora del ortopentágono?
Identifica uno de los atributos de un pentágono cuadrado (área, perímetro, longitud lateral), introdúcelo en la calculadora y, a continuación, pulsa el botón Calcular para obtener los demás atributos del pentágono cuadrado.
¿Qué es un pentágono regular?
Un ortopentágono es un polígono regular con cinco lados iguales y cinco ángulos interiores iguales. Aquí tienes algunas nociones básicas sobre un pentágono regular:
- Simetría: El ortopentágono tiene un alto grado de simetría y se puede girar alrededor de su centro un múltiplo entero de 72 grados (360 grados/5) sin que cambie su forma.
- Ángulos interiores y exteriores: cada ángulo interior de un pentágono regular es de 108 grados (
\color{Orange} 180(5-2)/5) y cada ángulo exterior es de 72 grados (360 grados/5). - LONGITUD DE LOS LADOS Y ÁREA: Los lados de un pentágono regular tienen la misma longitud, y el área se puede calcular a partir de las longitudes de los lados. La fórmula del área es
\color{Orange} \frac{5a^2}{4\tan(\pi/5)}, donde\color{Orange} aes la longitud del lado. - Círculos intangentes y exteriores: El pentágono ortogonal tiene un círculo intangente (círculo tangente a todos los lados) y un círculo exterior (círculo que pasa por todos los vértices). El radio del endocírculo
\color{Orange} Pestá relacionado con la longitud del lado\color{Orange} a, que se puede calcular a partir de relaciones geométricas. - Relación áurea: El pentágono cuadrado está relacionado con la proporción áurea. La proporción áurea es un número irracional aproximadamente igual a 1,61803398875… , anotado como
\color{Orange} \phi. En un pentágono regular, si fijamos las longitudes de los lados en\color{Orange} a, entonces la razón entre las longitudes de los lados y el radio de la circunferencia tangente interior, y la razón entre el radio de la circunferencia tangente interior y el radio de la circunferencia exterior, son ambas razones áureas. - Método de construcción: El orto-pentágono se puede construir de varias maneras, por ejemplo, utilizando una regla y un compás, o mediante la diagonal de una estrella.
- Propiedades geométricas: El orto-pentágono puede dividirse en 5 triángulos isósceles, la base de cada triángulo es un lado del orto-pentágono, y la altura puede determinarse por el radio del círculo interior.
- Aplicaciones: El ortopentágono tiene una amplia gama de aplicaciones en el arte, la arquitectura, el diseño y la naturaleza. Por ejemplo, la geometría del ortopentágono puede verse en la disposición de los pétalos de ciertas flores.
- Relaciones matemáticas: Las propiedades geométricas y las relaciones matemáticas del ortopentágono tienen aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas, incluyendo el álgebra, la geometría y la teoría de números.
- Secuencia de polígonos cuadrados: El pentágono cuadrado es uno de una secuencia de polígonos cuadrados, que son polígonos con un número entero positivo de lados y donde todos los lados son iguales en longitud y todos los ángulos interiores son iguales. El ortopentágono es el tercer miembro después del cuadrado (cuadrilátero) y el triángulo cuadrado.
Cálculos sobre el ortopentágono
Calcular el perímetro de un pentágono regular y las longitudes de sus lados, dada el área del cuadrado.
Para calcular el perímetro y la longitud de los lados de un pentágono regular, supongamos que su área es 10. He aquí los pasos detallados para el cálculo:
- Dada la fórmula del área de un pentágono regular:
El área de un pentágono regular\color{Orange} Ase puede calcular mediante la siguiente fórmula:
\color{Orange} A = \frac{5}{4} s^2 \cot\left(\frac{\pi}{5}\right)donde\color{Orange} ses la longitud del lado del pentágono regular. - Calcular
\color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right):
Sabemos que:\color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{tan\left(\frac{\pi}{5}\right)}\color{Orange} \tan\left(\frac{\\\\\\\}right pi}{5}\right) = \tan(36^\circ), y buscando en la tabla o calculadora, obtenemos:
\color{Orange} \tan(36^\circ) \approx 0.7265
Por tanto.
\color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx \frac{1}{0.7265} \approx 1.3764 - Utiliza la fórmula del área para hallar la longitud de un lado
\color{Orange} s:
Sustituye el área conocida\color{Orange} A = 10:
\color{Orange} 10 = \frac{5}{4} s^2 \cdot 1,3764.
Resuelve esta ecuación:
\color{Orange} 10 = \frac{5}{4} \cdot 1.3764 \cdot s^2
\color{Orange} 10 = 1.7205 \cdot s^2
\color{Orange} s^2 = \frac{10}{1.7205} \approx 5.8125
\color{Orange} s \approx \sqrt{5,8125} \approx 2,41 - Calcular el perímetro de un pentágono regular:
El perímetro de un pentágono regular\color{Orange} Pes cinco veces la longitud del lado\color{Orange} s:
\color{Orange} P = 5s = 5 \times 2.41 \approx 12.05.
En resumen, la longitud lateral de un pentágono regular es aproximadamente 2,41 y el perímetro es aproximadamente 12,05.
Sabiendo el perímetro de un pentágono regular, calcula su área así como las longitudes de sus lados.
Para calcular el área y la longitud de un pentágono regular, supongamos que su perímetro es 10. He aquí los pasos detallados:
- Calcular las longitudes de los lados de un pentágono regular:
Un pentágono regular tiene cinco lados, y la longitud de cada lado es\color{Orange} s.
\color{Orange} 5s = 10.
La solución es:
\color{Orange} s = \frac{10}{5} = 2.
Por tanto, la longitud del lado del pentágono regular\color{Orange} ses 2. - Calcular el área de un pentágono regular:
El área de un pentágono regular se puede calcular mediante la siguiente fórmula:
\color{Orange} A = \frac{5}{4} s^2 \cot\left(\frac{\pi}{5}\right)
En primer lugar, calcular $$$ \color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right)$$`:
\color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{tan\left(\frac{\pi}{5}\right)}
Sabemos que:\color{Orange} \tan\left(\frac{pi}{5}\right) = \tan(36^\circ)
Buscando en la tabla o usando una calculadora, obtenemos:\color{Orange} \tan(36^\circ) \approx 0.7265
Entonces,\color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx \frac{1}{0.7265} \approx 1.3764 - Calcular el área:
Sustituye las longitudes laterales\color{Orange} s = 2y\color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx 1.3764:
\color{Orange} A = \frac{5}{4} \times 2^2 \times 1.3764
Calculado:
\color{Orange} A = \frac{5}{4} \times 4 \times 1.3764 = 5 \times 1.3764 = 6.882
Por lo tanto, el área de un pentágono regular es de 6,882 y la longitud de los lados es 2.
Calcula tanto el área como el perímetro de un pentágono regular, conociendo las longitudes de sus lados.
Para calcular el área y el perímetro de un pentágono regular, supongamos que la longitud de sus lados es 10. He aquí los pasos detallados para el cálculo:
- Calcular el perímetro de un pentágono regular:
Un pentágono regular tiene cinco lados, cada uno de los cuales tiene longitud\color{Orange} s = 10.
\color{Orange} p = 5s = 5 veces 10 = 50.
Por tanto, el perímetro de un pentágono regular\color{Orange} Pes 50. - Calcular el área de un pentágono regular:
El área de un pentágono regular\color{Orange} Ase puede calcular mediante la siguiente fórmula:
\color{Orange} A = \frac{5}{4} s^2 \cot\left(\frac{\pi}{5}\right).
En primer lugar, calcular\color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right):
\color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{tan\left(\frac{\pi}{5}\right)}
Sabemos que:\color{Orange} \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) = \tan(36^\circ)
Buscando en la tabla o con calculadora, obtenemos:\color{Orange} \tan(36^\circ) \approx 0.7265
Por lo tanto.
\color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx \frac{1}{0.7265} \approx 1.3764 - Calcular el área:
Sustituye la longitud lateral\color{Orange} s = 10y\color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx 1,3764:
\color{Orange} A = \frac{5}{4} \times 10^2 \times 1.3764
Calculado:
\color{Orange} A = \frac{5}{4} \times 100 \times 1.3764 = 125 \times 1.3764 = 172.05
En resumen, el área de un pentágono regular es aproximadamente 172,05 y el perímetro es 50.
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