Калькулятор пентагона

Как использовать калькулятор для правильных пятиугольников?

Укажите один из атрибутов правильного пятиугольника (площадь, периметр, длина стороны), введите его в калькулятор, а затем нажмите кнопку расчета, чтобы получить другие характеристики правильного пятиугольника.

Что такое правильный пятиугольник?

Правильный пятиугольник — это многоугольник с пятью равными сторонами и пятью равными углами. Вот некоторые основные понятия о правильных пятиугольниках:

1. Симметрия: Правильный пятиугольник обладает высокой симметрией и может вращаться вокруг своего центра на угол, кратный 72 градусам (360 градусов/5), сохраняя свою форму.
2. Внутренние и внешние углы: Каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен 108 градусам (\color{Orange}180(5-2)/5), каждый внешний угол равен 72 градусам (360 градусов/5).
3. Длина стороны и площадь: Длины сторон правильного пятиугольника равны, и площадь может быть вычислена через длину стороны. Формула для площади:
   \color{Orange} A = \frac{5a^2}{4\tan(\pi/5)}
   где \color{Orange} a — длина стороны.
4. Вписанный и окружный круг: У правильного пятиугольника есть вписанный круг (круг, касающийся всех сторон) и окружный круг (круг, проходящий через все вершины). Радиус вписанного круга \color{Orange} r связан с длиной стороны \color{Orange} a и может быть вычислен через геометрические отношения.
5. Золотое сечение: Положительный пятиугольник связан с золотым сечением. Золотое сечение — это иррациональное число, приблизительно равное 1.61803398875… , обозначается как \color{Orange} \phi. Если в правильном пятиугольнике длина стороны равна \color{Orange} a, то отношение длины стороны к радиусу внутренней касательной окружности и отношение радиуса внутренней касательной окружности к радиусу внешней окружности являются золотым сечением.
6. Способы построения: Правильный пятиугольник может быть построен различными способами, например, с помощью линейки и компаса или через диагонали звезды.
7. Геометрические свойства: Правильный пятиугольник может быть разделен на 5 равнобедренних треугольников, каждый с основанием, являющимся одной из сторон пятиугольника, а высоту можно определить через радиус вписанного круга.
8. Применение: Правильный пятиугольник широко используется в искусстве, архитектуре, дизайне и природе, например, в расстановке лепестков определенных цветов.
9. Математические связи: Геометрические свойства и математические связи правильных пятиугольников применимы во многих областях математики, включая алгебру, геометрию и теорию чисел.
10. Серия правильных многоугольников: Правильный пятиугольник является одним из членов серии правильных многоугольников, которые являются многоугольниками с количеством сторон, являющимся положительным целым числом, со всеми равными сторонами и всеми равными углами. Правильный пятиугольник является третьим членом после квадрата (четырехугольника) и равностороннего треугольника.

Вычисления с правильными пятиугольниками

Известна площадь правильного пятиугольника, вычислите его периметр и длину стороны

Чтобы вычислить периметр и длину стороны правильного пятиугольника, предположим, что его площадь равна 10. Вот подробные шаги вычислений:

1. Данная формула площади для правильного пятиугольника:
   Площадь \color{Orange} A правильного пятиугольника может быть рассчитана по следующей формуле:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} s^2 \cot\left(\frac{\pi}{5}\right)
   Где \color{Orange} s — длина стороны правильного пятиугольника.
2. Рассчитаем \color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right):
   Мы знаем, что:
   \color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right)}
\color{Orange}\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) = \tan(36^\circ), используя таблицу или калькулятор, мы получаем:
   \color{Orange} \tan(36^\circ) \approx 0.7265
   Поэтому,
   \color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx \frac{1}{0.7265} \approx 1.3764
3. Используя формулу площади, найдем длину стороны \color{Orange} s:
   Вместо известной площади \color{Orange} A = 10:
   \color{Orange} 10 = \frac{5}{4} s^2 \cdot 1.3764
   Решаем эту уравнение:
   \color{Orange} 10 = 1.7205 \cdot s^2
\color{Orange} s^2 = \frac{10}{1.7205} \approx 5.8125
\color{Orange} s \approx \sqrt{5.8125} \approx 2.41
4. Рассчитаем периметр правильного пятиугольника:
   Периметр \color{Orange} P правильного пятиугольника — это пять раз длины стороны \color{Orange} s:
   \color{Orange} P = 5s = 5 \times 2.41 \approx 12.05

В итоге, длина стороны правильного пятиугольника составляет около 2.41, а периметр — около 12.05.

Известный периметр правильного пятиугольника, вычислите его площадь и длину стороны

Чтобы вычислить площадь и длину стороны правильного пятиугольника, предположим, что его периметр равен 10. Вот подробные шаги вычислений:

1. Рассчитаем длину стороны правильного пятиугольника:
   У правильного пятиугольника есть пять сторон, пусть длина каждой стороны равна \color{Orange} s.
   \color{Orange} 5s = 10
   Решаем для \color{Orange} s:
   \color{Orange} s = \frac{10}{5} = 2
   Таким образом, длина стороны \color{Orange} s правильного пятиугольника равна 2.
2. Рассчитаем площадь правильного пятиугольника:
   Площадь правильного пятиугольника может быть рассчитана по следующей формуле:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} s^2 \cot\left(\frac{\pi}{5}\right)
   Во-первых, рассчитаем \color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right):
   \color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right)}
   Мы знаем:
   \color{Orange} \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) = \tan(36^\circ)
   Используя таблицу или калькулятор, мы получаем:
   \color{Orange} \tan(36^\circ) \approx 0.7265
   Поэтому,
   \color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx \frac{1}{0.7265} \approx 1.3764
3. Рассчитаем площадь:
   Подставляем длину стороны \color{Orange} s = 2 и \color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx 1.3764:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} \times 2^2 \times 1.3764
   Вычисляем:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} \times 4 \times 1.3764 = 5 \times 1.3764 = 6.882

Таким образом, площадь правильного пятиугольника составляет около 6.882, а длина стороны — 2.

Известная длина стороны правильного пятиугольника, вычислите его площадь и периметр

Чтобы вычислить площадь и периметр правильного пятиугольника, предположим, что его длина стороны равна 10. Вот подробные шаги вычислений:

1. Рассчитаем периметр правильного пятиугольника:
   У правильного пятиугольника пять сторон, каждая из которых имеет длину \color{Orange} s = 10.
   \color{Orange} P = 5s = 5 \times 10 = 50
   Таким образом, периметр \color{Orange} P правильного пятиугольника равен 50.
2. Рассчитаем площадь правильного пятиугольника:
   Площадь \color{Orange} A правильного пятиугольника может быть рассчитана по следующей формуле:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} s^2 \cot\left(\frac{\pi}{5}\right)
   Во-первых, рассчитаем \color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right):
   \color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right)}
   Мы знаем:
   \color{Orange} \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) = \tan(36^\circ)
   Используя таблицу или калькулятор, мы получаем:
   \color{Orange} \tan(36^\circ) \approx 0.7265
   Поэтому,
   \color{Orange} \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx \frac{1}{0.7265} \approx 1.3764
3. Рассчитаем площадь:
   Подставляем длину стороны \color{Orange} s = 10 и \color{Orange}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \approx 1.3764:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} \times 10^2 \times 1.3764
   Вычисляем:
   \color{Orange} A = \frac{5}{4} \times 100 \times 1.3764 = 125 \times 1.3764 = 172.05

В итоге, площадь правильного пятиугольника составляет около 172.05, а периметр — 50.

Эта статья также доступна на следующих языках: 简体中文 (Китайский (упрощенный)) English (Английский) 日本語 (Японский) 한국어 (Корейский) Русский Español (Испанский) Deutsch (Немецкий)